L2范数归一化概念和优势

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       归一化是有有一种数理统计中常用的数据预防止手段,在机器学习中归一化通常将数据向量每个维度的数据映射到(0,1)或(-1,1)之间的区间意味着 将数据向量的某个范数映射为1,归一化好处有有俩个 :

       (1) 消除数据单位的影响:其一还时要将有单位的数据转为无单位的标准数据,如成年人的身高100-100cm、成年人体重100-90Kg,身高的单位是厘米而体重的单位是千克,不同维度的数据单位不一样,造成原始数据这样直接代入机器学习中进行防止,或多或少哪些地方地方数据经过特定法子统一都映射到(0,1)这人 区间,那我所有数据的取值范围就有同有俩个 区间里的。

       (2) 可提层厚学习模型收敛速率单位: 意味着 不进行归一化防止,假设层厚学习模型接受的输入向量这样有俩个 维度x1和x2,其中X1取值为0-100,x2取值为0-3。那我数据在进行梯度下降计算时梯度时对应有俩个 很扁的椭圆形,很容易在垂直等高线的方向上走大量的之字形路线,是的迭代计算量大且迭代的次数多,造成层厚学习模型收敛慢。

       L2范数归一化防止操作是对向量X的每个维度数据x1, x2, …, xn都除以||x||2得到有俩个 新向量,即

\[{{\bf{X}}_2} = \left( {\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{x}} \right\|}_2}}},\frac{{{x_2}}}{{{{\left\| {\bf{x}} \right\|}_2}}}, \cdots ,\frac{{{x_n}}}{{{{\left\| {\bf{x}} \right\|}_2}}}} \right) = \left( {\frac{{{x_1}}}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} }},\frac{{{x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} }}, \cdots ,\frac{{{x_n}}}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} }}} \right)\]

       若向量A = (2, 3, 6),易得向量X的L2范数为

\[{\left\| {\bf{A}} \right\|_2} = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} = \sqrt {4 + 9 + 36} = \sqrt {49} = 7\]

       或多或少向量A的L2范数归一化后得到向量为

\[{{\bf{A}}_2} = \left( {\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}} \right)\]



图1 L2范数还时要看作是向量的长度

       L2范数有一大优势:经过L2范数归一化后,一组向量的欧式距离和它们的余弦累似 于度还时要等价

       有俩个 向量X经过L2范数归一化得到向量X2,一同那我向量Y经过L2范数归一化得到向量Y2。此时X2和Y2的欧式距离和余弦累似 于度是等价的,下面先给出严格的数学证明。

       假设向量X = (x1, x2, …, xn),向量Y = (y1, y2, …, yn), X2和Y2的欧式距离是

\[\begin{array}{l} D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{{y_1}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{x_2}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{{y_2}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^2} + \cdots + {{\left( {\frac{{{x_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^2}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {\left( {\frac{{\bf{X}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{\bf{Y}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right){{\left( {\frac{{\bf{X}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} - \frac{{\bf{Y}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^T}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {\frac{{{\bf{X}}{{\bf{X}}^T}}}{{\left\| {\bf{X}} \right\|_2^2}} - \frac{{{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} - \frac{{{\bf{Y}}{{\bf{X}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} + \frac{{{\bf{Y}}{{\bf{Y}}^T}}}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|_2^2}}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {\frac{{{\bf{X}}{{\bf{X}}^T}}}{{{\bf{X}}{{\bf{X}}^T}}} - \frac{{2{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} + \frac{{{\bf{Y}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{\bf{Y}}{{\bf{Y}}^T}}}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \sqrt {2 - 2\frac{{{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \\ \end{array}\]

       X2和Y2的余弦累似 于度为

\[\begin{array}{l} Sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} \cdot \frac{{{y_1}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}{\rm{ + }}\frac{{{x_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} \cdot \frac{{{y_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}\frac{{{x_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}} \cdot \frac{{{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{{x_1}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {\frac{{{x_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }} \cdots {{\left( {\frac{{{x_{\rm{n}}}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{y_1}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {\frac{{{y_{\rm{2}}}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}{{\left( {\frac{{{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}} \right)}^{\rm{2}}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{\frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}}}{{\sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}}{{\left\| {\bf{X}} \right\|_2^2}}} \cdot \sqrt {\frac{{y_1^2 + y_2^2 + \cdots y_n^2}}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|_2^2}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{\frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}}}}{{\sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}}{{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}}} \cdot \sqrt {\frac{{y_1^2 + y_2^2 + \cdots y_n^2}}{{y_1^2 + y_2^2 + \cdots y_n^2}}} }} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \cdots + {x_n}{y_n}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = \frac{{{\bf{X}}{{\bf{Y}}^T}}}{{{{\left\| {\bf{X}} \right\|}_2}{{\left\| {\bf{Y}} \right\|}_2}}} \\ \end{array}\]        结合有俩个 表达式易得



\[D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {2 - 2sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right)} \]

       即L2范数归一化防止后有俩个 向量欧式距离等于2减去2倍余弦累似 于度的算术平方根。意味着 你被上面令人昏头转向的数学公式搞晕,而不看到得话,这里还有有有一种仅时要中学知识的更简单证明法子证明两者的等价性:

       假设一组二维数据,设经过L2范数归一化后向量X2 为 (p1, p2),向量Y2 为 (q1, q2)。向量X2是原点(0,0) 指向点P(p1,p2)的有向线段,向量Y2是原点(0,0)指向点Q(q1, q2)的有向线段。易得

       X2和Y2的欧式距离为线段PQ长度

       X2和Y2的余弦累似 于度为∠POQ的余弦值

       根据余弦定理易得

\[\cos \angle POQ = \frac{{O{P^2} + O{Q^2} - P{Q^2}}}{{2 \cdot OP \cdot OQ}}\]

       意味着 L2范数归一化向量的长度就有1,意味着 L2范数归一化向量的长度就有1,这样向量对应的点肯定就有单位圆上,或多或少OP=OQ=1



图2 L2范数归一化后向量对应的点就有单位圆上

       或多或少

\[\cos \angle POQ = \frac{{{1^2} + {1^2} - P{Q^2}}}{2} = \frac{{2 - P{Q^2}}}{2}\]

       即

\[sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \frac{{2 - D{{\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow D\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right) = \sqrt {2 - 2sim\left( {{{\bf{X}}_{\rm{2}}},{{\bf{Y}}_{\rm{2}}}} \right)} \]

       或多或少经L2范数归一化后,一组向量的欧式距离和它们的余弦累似 于度可等价。这人 大优势是当你算得一组经过L2范数归一化后的向量的欧式距离后,又想计算它们的余弦累似 于度,还时要根据公式在O(1)时间内直接计算得到;反过来也一样。

       另外,在或多或少机器学习防止包中,这样欧式距离计算这样余弦累似 于度计算,如Sklearn的Kmeans聚类包,这人 包这样防止欧式距离计算的数据聚类。

       而在NLP领域,或多或少词语或文档的累似 于度定义为数据向量的余弦累似 于度,意味着 直接调用Sklearn的Kmeans聚类包则这样进行聚类防止。或多或少时要将词语对象的词向量意味着 文档对应的文本向量进行L2范数归一化防止。意味着 在L2范数归一化防止后的欧式距离和余弦累似 于度是等价的,或多或少此时还时要放心大胆用Sklearn的Kmeans进行聚类防止。